Rođen je u Sarajevu 1937. godine od majke Bojane Kapor (devojačko Velimirović) i oca Gojka Kapora. Njegov otac Gojko Kapor radio je kao finansijiski stručnjak u Sarajevu, gde je sreo svoju buduću suprugu. Zarobljen na početku rata kao rezervni oficir kraljeve vojske, odveden je u Nirnberg, gde je proveo pune četiri godine. 13. aprila 1941. za vreme bombardovanja Sarajeva pala je bomba na staru tursku kuću u kojoj su se sklonili Momina majka Bojana, Kaporova baka i mali Momo. Svi su poginili osim Mome, koga je majka zaštitila legavši preko njega. O majci je Kapor znao vrlo malo, zato što se o njoj retko govorilo u porodici, verovatno zbog želje najbližih da dete zaštite, ne obnavljajući mu sećanje na preživljeni užas i ne produbljujući dodatnu traumu koju je nosio u sebi. Ratne godine Momo provodi u Sarajevu kod bakine sestre Janje Baroš, a otac ga godinu dana po završetku rata dovodi u Beograd.
Po maturiranju Kapor se odlučuje za studije slikarstva. Diplomirao je slikarstvo 1961. godine na beogradskoj Akademiji likovnih umetnosti u klasi profesora Nedeljka Gvozdenovića. U vreme diplomiranja na Akademiji upoznaje gimnazijalku Anu Pjerotić, kasnije studentkinju psihologije. Momo i Ana venčali su se 1964. i iz ovog braka rodile su se kćerke Ana Kapor (1964) i Jelena Kapor (1968). O tom vremenu Ana Pjerotić kaže: „Pisao je lako, sa radošću. Svoje prve tekstove napisao je na pisaćoj mašini Adler koju sam mu poklonila za rođendan, i na kojoj sam, kasnije, prekucala većinu njegovih tekstova. Imao je potrebu da priča o onome što piše. Nas tri smo bile njegova prva publika. To su bile njegove prve književne večeri“.